在篮球运动中, 每当对手多次犯规时, 我方运动员就要进行罚球投篮. 显然这种投篮是 在没有对手进行防守的情况下的一种定点投篮, 怎样才能提高命中率呢? 这是个典型的投挪问题,我们先假设: (1) 在投拍过程中,忽略空气阻力;
(2) 将篮球看成一个质点.
此时, 整个投掷运动过程如图所示. 现在, 一种简单的考虑方法是, 假设在投篮时, 篮球是通过篮䇫的中心而被投中的, 因而有 $$ \left\{\begin{array}{l} x=v \cdot \cos \alpha \cdot t \\ y=v \cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2} g t^2 \end{array}\right. $$ 其中 $v$ 为投速, $\alpha$ 为投掷角度, $t$ 为时间, $g$ 为重力 加速度. 由上解得 $$ y=x \cdot \tan \alpha-\frac{g x^2}{2 v^2 \cdot \cos ^2 \alpha} $$ 由于篮筺的中心 $\left(x_1, y_1\right)$ 为篮球经过的点, 则有 $$ y_1=x_1 \cdot \tan \alpha-\frac{g x_1^2}{2 v^2 \cdot \cos ^2 \alpha} $$ 则 $\frac{g x_1^2}{2 v^2} \cdot \tan ^2 \alpha-x_1 \cdot \tan \alpha+y_1+\frac{g x_1^2}{2 v^2}=0$

故 $\tan \alpha=\frac{v^2}{g x_1}\left[1 \pm \sqrt{1-\frac{2 g}{v^2}\left(y_1+\frac{g x_1^2}{2 v^2}\right)}\right]$ 设球出手点与地面距离为 $h$. 根据对一些专业篮球运动员的测量, $h=2.15 \mathrm{~m}, v=8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, 则 $x_1=4.6 \mathrm{~m}, y_1=3.05-2.15=0.9 \mathrm{~m}$, 于是求得 $\tan \alpha=2.0979$ 或 $0.7416$, 即 $\alpha=64^{\circ} 31^{\prime}$ 或 $36^{\circ} 33^{\prime}$

由上知,对于投篮者来说, 有两个出手角度,那么到底应选择哪一个呢? 或者換句话说, 如上建立的数学模型可行吗? 显然是失效的, 为此, 我们反过来看一看当初建立模型时的假 设, 显然第 (2) 条假设不合理, 它不能简单地看成是一个质点. 因此, 式 $(*)$ 中看成是篮球 的中心通过篮筺的中心而得到的, 我们还需考虑其间的一些因素, 䢃如, 通过从篮球运动员 处获取信息,得知人们在投篮时,眼睛看到的篮䇪是一个椭圆形状,按照篮球的飞行方向来 划分, 垂直于飞行方向的是椭圆的长轴, 其大小为篮筀的直径 $45 \mathrm{~cm}$. 平行于飞行方向是椭 圆的短轴 $d$, 其大小取决于篮球进人篮筏时的人射角 $\beta$, 这种情形如图 $5.9$ 所示, 则 $d=$ $45 \sin \beta$ $$ d=45 \sin \beta>24.6 $$ 지] $$ \beta \geqslant 33^{\circ} 8^{\prime} \quad(* * *) $$ 现在, 我们反过来看一看式 $(* *)$ 是否满足上述条件? 由 $(*)$ 的解得式, 可知 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\tan \alpha-\frac{g x}{v^2 \cdot \cos ^2 \alpha} $$ 即 $-\tan \beta=\tan \alpha-\frac{g x_1}{g^2 \cdot \cos ^2 \alpha}$ 当 $\alpha=64^{\circ} 31^{\prime}$ 时, $\beta=59^{\circ} 38^{\prime}$. 当 $\alpha=36^{\circ} 33^{\prime}$ 时, $\beta=19^{\circ} 18^{\prime}$.

所以当篮球的中心通过篮璼中心心时, 投篮者的出手角度应为 $64^{\circ} 31^{\prime}$. 其实, 投篮者还可以通过篮球贴着篮筐而投中, 最后得分, 这种情形如图所示. $y$ 轴方向为篮球飞行的方向. 因此, 可以运用平面解析儿何的知识来得到椭圆方程为$$ \frac{x^2}{22.5^2}+\frac{y^2}{(22.5 \sin \beta)^2}=1 $$ 篮球的平面图形为圆,因此有 $$ (x-c)^2+y^2=12.3^2 $$ 则 $P, Q$ 两点为圆与椭圆相切的两点, 设 $P\left(x_1\right.$, $y_1$ ), 即有 $$ \begin{gathered} \left(x_1-c\right)^2+y_1^2=12.3^2 \\ x_1^2 \cdot \sin ^2 \beta+y_1^2=22.5^2 \sin ^2 \beta \end{gathered} $$ 由于两图形相切, 就得到 $$ \begin{gathered} C^2=\left(1-\sin ^2 \beta\right)\left(c^2+22.5^2 \sin ^2 \beta-12.3^2\right) \\ C^2=\frac{\left(1-\sin ^2 \beta\right)\left(22.5^2 \sin ^2 \beta-12.3^2\right)}{\sin ^2 \beta} \end{gathered} $$ 因此, 有
$22.5 \sin \beta \geqslant 12.3$
即 $\beta \geqslant 33^{\circ} 8^{\prime}$, 这点与式 $(* * *)$ 完全一致. 并且最大投中的可能性就是在 $A, B$ 两点相切, 这时 $C=22.5-12.3=10.2(\mathrm{~cm})$, 代人 上式 $(* * * *)$ 得到 $$ \sin \beta=\sqrt{\frac{12.3}{22.5}} $$ 即 $\beta=47^{\circ} 41^{\prime}$. 综上,关于定点投篮问题的结论可综合如下：
(2) 如果 $33^{\circ} 8^{\prime} \leqslant \beta \leqslant 47^{\circ} 41^{\prime}$ 时, 投篮成功, 并且水平方向向垂直方向的偏移量可以分 别按 $O D=22.5 \sin \beta-12.3, O C=\frac{\sqrt{\left(1-\sin ^2 \beta\right)\left(22.5^2 \sin ^2 \beta-12.3^2\right)}}{\sin \beta}$ 来计算;
(3) 如果 $\beta>47^{\circ} 41^{\prime}$ 时, 投篮成功. 此时, 篮球可能贴着 $A$ 或 $B$ 进人篮篮, 并且 $O C=$ $10.2 \mathrm{~cm}$.

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